자동제어 | 미분방정식의 해 |

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작성자 cemtool 작성일14-04-22 12:24 조회11,979회 댓글0건

다음 미분방정식의 해를 구해보자.

$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+3\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=5u_s(t)$

(단, $u_s(t)$ 는 단위계단 함수이다. 초기조건은 $y(0)=-1,y^{(1)}(0)=dy(t)/dt\mid_{t=0}=2$ 이다.)

«풀이»

양변을 Laplace 변환하면

$s^2Y(s)-sy(0)-y^{(1)}(0)+3sY(s)-3y(0)+2Y(s)=5/s$

이다. 따라서,

$Y(s)=\frac{-s^2-s+5}{s(s^2+3s+2)}$

이고, 이 식을 부분분수 전개하면 다음과 같다.

num = [-1 -1 5];
den1 = [1 0];
den = conv(den1, [1 3 2]);
[r, p, k] = residue(num, den)

그러므로,

$Y(s)=\frac{2.5}{s}-\frac{5}{s+1}+\frac{1.5}{s+2}$

이고, 이 식을 역 Laplace 변환하면,

$y(t)=2.5-5e^{-t}+1.5e^{-2t} , t\geq0$

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